La solución que al final implementamos es la que puedes ver en esta página.

Tiene dos funciones principales, que son:
Initialize, que se ejecutará nada más cargar la página.

function initialize() {
  geocoder = new GClientGeocoder();
}

ShowLocation, que se ejecutará en el momento en que pulsemos el botón de calcular las distancias. Se encargará de tomar las direcciones, obtener el punto donde se encuentran y llamar a la función calculateDistance.

function showLocation() {
  geocoder.getLocations(document.forms[0].address1.value, function (response) {
    if (!response || response.Status.code != 200){
      alert("Lo siento, pero hemos sido incapaces de geolocalizar la primera dirección");
    } else {
      location1 = {lat: response.Placemark[0].Point.coordinates[1], lon: response.Placemark[0].Point.coordinates[0], address: response.Placemark[0].address};
      geocoder.getLocations(document.forms[0].address2.value, function (response) {
        if (!response || response.Status.code != 200){
          alert("Lo siento, pero hemos sido incapaces de geolocalizar la segunda dirección");
        } else {
          location2 = {lat: response.Placemark[0].Point.coordinates[1], lon: response.Placemark[0].Point.coordinates[0], address: response.Placemark[0].address};
          calculateDistance();
        }
      });
    }
  });
}

calculeDistance es la función que se encarga de calcular dicha distancia en kilómetros y en millas y sustituir el p con id results por una cadena con dicha información.

function calculateDistance(){
  try{
    var glatlng1 = new GLatLng(location1.lat, location1.lon);
    var glatlng2 = new GLatLng(location2.lat, location2.lon);
    var miledistance = glatlng1.distanceFrom(glatlng2, 3959).toFixed(1);
    var kmdistance = (miledistance * 1.609344).toFixed(1);
    document.getElementById('results').innerHTML = 'Dirección 1: ' + location1.address + ' (' + location1.lat + ':' + location1.lon + ')
Dirección 2: ' + location2.address + ' (' + location2.lat + ':' + location2.lon + ')
Distancia: ' + kmdistance + ' kilómetros (o ' + miledistance + ' millas)';
  } catch (error) {
    alert(error);
  }
}

Nota: Recuerda que si quieres exportarla a tu máquina local o a tu propia web necesitas modificar la clave API.